CSAPP第二章 信息的表示和处理（下）

IEEE浮点数的浮点表示

IEEE浮点数表示形如的数

在位排布上的顺序是符号位 -> 阶码(指数)位 -> 尾数(基数)位

根据exp位的不同，可以分为如下情况：

1. 规格化的

   即exp位不全为0或全为1，此时exp被解释为无符号整数，

   而阶码，其中，

   而尾数，frac是二进制数的小数部分表示

   在这里规格化数通过隐含一个 1 来最大化尾数的有效位数，从而提高了精度

2. 非规格化的

   即exp位全为0，此时数字会被特殊处理，

   而阶码****，与规格化的值相同

   而尾数****，frac同样是小数部分表示

   通过Bias的方法，指数位可以用无符号整数表达，这方便计算机处理以及比较不同浮点数

   通过非规格化数的特殊处理，IEEE浮点数可以更精确地表示接近0的小数，并与规格化数平滑转换

3. 特殊值

   当exp位全为1时，且frac位全为0时，整体表示正/负无穷大，即超出表达范围的结果

   ​ 当frac位不全为0时，此时视作错误NaN，代表无效或无法处理的值

实际上，IEEE浮点数可表示的值并不是连续的，其在靠近0处更稠密、更精确，而远离0处更稀疏

浮点数的舍入

当使用精度有限的浮点数表达实数值时，可能需要进行舍入，舍入包括：

1. 四舍五入，这是IEEE规定的默认舍入模式，可以尽量减少累计误差
2. 向上舍入，这时表达值有明确的下界，即
3. 向下舍入，这时表达值有明确的上界，即
4. 向零舍入，此时对于负数与非负数，表达值分别有明确的下界和上界，即
5. 向偶数舍入，此时没有明确的上下界，但是避免了舍入后数的均值偏离原数据的均值

浮点数的运算

• 浮点运算并不具有结合性，运算结果可能会受到顺序的影响，因为运算中可能产生溢出或精度丢失

  同样的，浮点乘法并不具有可结合性和分配性

• 当浮点数和整数之间发生类型转换时，可能会有如下情况

  1. int -> float，通常不会产生溢出，但是可能发生舍入
  2. int -> double 或 float -> double，此时数值会被完整保留
  3. double -> float，可能发生精度丢失，若超出范围会溢出为无穷大
  4. float -> int 或 double -> int，在C语言中，最终值会截断，即向零舍入